Troisième loi de Kepler

Programme de classe terminale, enseignement de spécialité, voie générale

Exploiter, à l’aide d’un langage de programmation, des données astronomiques ou satellitaires pour tester les deuxième et troisième lois de Kepler.

Principe

Vérifier la troisième loi de Kepler :

\[\boxed{\dfrac{T^2}{a^3} = \text{constante}} \hspace{2cm}\text{ou}\hspace{2cm} \dfrac{T^2}{r^3} = \dfrac{4\pi^2}{G\cdot M_S}\]

Exemple : satellites de Jupiter

Le tableau ci-dessous donne les valeurs du demi-grand axe de l'orbite et la période de révolution de quelques satellites de Jupiter.

Satellites	Amalthee	Thébé	Io	Europe	Ganymède	Callisto
\(a~(10^3~\rm km)\)	181	221	421	671	1070	1880
\(T~(J)\)	0,498	0,674	1,769	3,551	7,155	16,689

Le programme ci-dessous réalise une régression linéaire afin de vérifier la proportionnalité entre \(T^2\) et \(r^3\).

from scipy.stats import linregress

# DONNEES
s = ['Amalthee', 'Thébé', 'Io', 'Europe', 'Ganymède', 'Callisto']  # Nom des satellites
r = np.array([1.81E5, 2.21E5, 4.21E5, 6.71E5, 1.07E6, 1.88E6])     # (km) Rayon orbite
T = np.array([0.498 , 0.674 , 1.769 , 3.551 , 7.155 , 16.689])     # (J)  Période de révolution

# CALCULS
r3 = r**3
T2 = T**2

# MODELISATIOM PAR REGRESSION LINEAIRE
(a, b, _, _, _) = linregress(r3, T2)
print("a =", a)
print("b =", b)
T2_model = a*r3

# COURBE
plt.plot(r3, T2_model, label="Modélisation")
plt.plot(r3, T2, 'r+', label="Satellites")
plt.legend()
plt.title("Satellites de Jupiter")
plt.xlabel(r"$r^3~(km^3)$")
plt.ylabel(r"$T^2~(J^2)$")
plt.grid()
plt.savefig("periode_de_jupiter.png")
plt.show()

Résultats

>>> %Run periode_de_jupiter.py
a = 4.191896436656507e-17
b = -0.03758156536986945