Taux d'avancement final d'une transformation chimique

Programme de classe terminale, enseignement de spécialité, voie générale

Déterminer, à l’aide d’un langage de programmation, le taux d’avancement final d’une transformation, modélisée par la réaction d’un acide sur l’eau.

Principe

La réaction d'un acide sur l'eau est décrite par la réaction suivante :

\[\rm AH_{(aq)} + H_2O_{(l)} = A^-_{(aq)} + H_3O^+_{(aq)}\]

Le quotient de réaction s'écrit :

\[Q_r = \dfrac{[{\rm A^-}]\cdot[{\rm H_3O^+}]}{[{\rm AH}]\cdot C_0}\]

avec

\[[{\rm A^-}] = [{\rm H_3O^+}] = \dfrac{x}{V} \hspace{2cm} [{\rm AH}] = \dfrac{n-x}{V} \hspace{2cm} C_0 = 1~{\rm mol \cdot L^{-1}}\]

De plus, la constante d'acidité du couple \(\rm AH/A^-\) en fonction de \(pK_a\) s'écrit :

\[K_a = 10^{-pK_a}\]

Lors de l'évolution du système chimique, le quotient de réaction \(Q_r\) va tendre vers la constante d'acidité \(K_a\).

L'avancement final \(x_f\) peut se déterminer par :

une résolution numérique d'une équation du second degré obtenue pour \(Q_{r,f} = K_a\).
une évolution itérative (pas à pas) du système chimique tant que \(Q_{r,f} \leq K_a\).

Le taux d'avancement final s'obtient par l'expression :

\[\boxed{\tau = \dfrac{x_f}{_{max}}}\]

Exemple 1 : évolution pas à pas du système chimique

Le quotient de réaction

\[Q_r = \dfrac{[{\rm A^-}]\cdot[{\rm H_3O^+}]}{[{\rm AH}]\cdot C_0}\]

tend vers la constante d'acidité \(K_a\) lors de l'évolution du système chimique.

Dans le programme ci-dessous, la boucle while est interrompue à l'équilibre chimique donc pour l'avancement \(x = x_f\).

# DONNEES
pKa = 4.76  # 4.76    Pour l'acide éthanoïque
n = 0.10    # (mol)   Quantité de matière d'acide versé
V = 2.00    # (L)     Volume d'eau
C0 = 1      # (mol/l) Concentration standard

# CALCULS
Ka = 10**(-pKa) # Constante d'acidité
x = 0           # Initialisation avancement
dx = 0.00001    # Pas d'avancement
Qr = 0          # Quotient de réaction initial

while Qr<=Ka:
   x = x + dx               # Incrémentation avancement de dx
   C_AH = (n-x)/V           # Décrémentation de la concentration AH
   C_A = x/V                # Incrémentation de la concentration A-
   C_H30 = x/V              # Incrémentation de la concentration H3O+
   Qr = C_A*C_H30/(C_AH*C0) # Calcul du nouveau quotient de réaction

x_f = x             # xf
x_max = n           # xmax
tau = 100*x_f/x_max # tau d'avancement final

# RESULTATS
print("x_f =", x_f)
print("tau =", tau)
print("Pour ", n, "mol d'acide ( Pka =", pKa, ") versé dans", V, "L d'eau")
print("Le taux d'avancement final est de", round(tau,2), "%")

Résultats

>>> %Run script.py
x_f = 0.0018500000000000042
tau = 1.850000000000004
Pour  0.1 mol d'acide ( Pka = 4.76 ) versé dans 2.0 L d'eau
Le taux d'avancement final est de 1.85 %

Exemple 2 : résolution numérique

A l'état final :

\[K_a = \dfrac{[{\rm A^-}]_{eq}\cdot[{\rm H_3O^+}]_{eq}}{[{\rm AH}]_{eq}\cdot C_0} = \dfrac{\dfrac{x_f^2}{V^2}}{\dfrac{n-x_f}{V}\cdot C_0} = \dfrac{x_f^2}{(n-x_f)\cdot V \cdot C_0}\]

On obtient le polynôme du second degré suivant :

\[\boxed{x_f^2 + K_a V C_0~x_f - K_a n VC_0 = 0} \hspace{1cm}\text{avec}\hspace{1cm} C_0 = 1~{\rm mol\cdot L^{-1}}\]

dont la résolution donne \(x_f\) connaissant \(n\), \(V\) et \(K_a = 10^{-pK_a}\).

Le programme Python ci-dessous fait appel à la classe poly1d de la librairie numpy pour déterminer les racines du polynôme du seconde degré.

import numpy as np

def avancement_final(pKa, n, V, C0 = 1):
   """ Retourne l'avancement final de la réaction
   d'un acide sur l'eau.
   """
   Ka = 10**(-pKa)                  # Calcul de Ka
   a, b, c = 1, Ka*V*C0, -Ka*n*V*C0 # Coeff. du polynome
   polynome = np.poly1d([a,b,c])    # Création du polynome
   solutions = polynome.roots       # Solutions
   return solutions[1]              # Retourne la deuxième solution

# DONNEES
pKa = 4.76  # 4.76  Pour l'acide éthanoïque
n = 0.10    # (mol) Quantité de matiere d'acide versé
V = 2.00    # (L)   Volume d'eau

# CALCULS
x_max = n                         # (mol) Avancement maximal
x_f = avancement_final(pKa, n, V) # (mol) Avancement final
tau = 100*x_f/x_max               # (%)   Tau d'avancement final

# Affichage
print("x_f =", x_f)
print("tau =", tau)
print("Pour ", n, "mol d'acide ( Pka =", pKa, ") versé dans", V, "L d'eau")
print("Le taux avancement final est de", round(tau,2), "%")

Résultats

>>> %Run script.py
x_f = 0.0018469995427119795
tau = 1.8469995427119794
Pour  0.1 mol d'acide ( Pka = 4.76 ) versé dans 2.0 L d'eau
Le taux avancement final est de 1.85 %